Čísla
Z CHWiki
Čísla jsou prostředkem jak vyjádřit množství. Jako první byla používaná přirozená čísla <math>\mathbb{N} = \{1,2,3,...\}</math>. Kdykoliv počítáme na prstech, počítáme s přiřozenými čísly. Přirozená čísla jsou uzavřená na operaci sčítání a násobení. To znamená, že když znásobíme dvě přirozená čísla, výsledkem je opět přirozené číslo, a pro sčítání platí to samé.
S rozvojem obchodu ale přestala přirozená čísla stačit. Obchod není jen o sčítání, ale i o odečítání. A přirozená čísla na odečítání nejsou uzavřená, například <math>3-5</math> v přirozených číslech nespočtete. Ale přesto se vyplatí vědět jaký je výsledek, protože tím získáte například velikost dluhu. Proto se zavedla celá čísla <math>\mathbb{Z} = \{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}</math>.
Formálně by se dalo napsat: <math>-\mathbb{N} := \{ -x | x \in \mathbb{N}\},\qquad\mathbb{Z} = -\mathbb{N} \cup \{0\} \cup \mathbb{N}</math>
Celá čísla nám přestanou stačit už když se pokusíme rozdělit narozeninový dort více kamarádům. Celá čísla totiž nejsou uzavřena na dělění Máme jeden dort a pět kamarádů. Jak velké kousky jim dát? Přicházejí zlomky a s nimi další číselný obor - racionální čísla. V oboru racionálních čísel už není problém spočítat, že každý kamarád dostane jednu pětinu dortu. To se dá zapsat takto: <math>\frac{1}{5}</math>. Racionální čísla se značí <math>\mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b}|a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}\right\}</math>.
Nyní by se mohlo zdát, že máme vše co jsme chtěli. Máme množinu čísel uzavřenou na sčítání, odečítání, násobení i dělení. Ale lidem není nic dobré. Už v dobách starého řecka si jistý Pythagorův student všiml, že úhlopříčka ve čtverci o straně 1 není racionální číslo. Pythagoras měl k racionálním číslům až náboženský vztah a proto studenta zabil aby se tato vědomost nedostala mezi lidi. Ale pokrok nezastavíš. To, že je délka úhlopříčky ve čtverci <math>\sqrt{2}</math> se mezi matematiky dostalo a nastal problém. Racionální čísla neobsahují taková čísla jako odmocninu ze dvou, a nebo <math>\pi</math>. Protože to jsou velmi důležitá čísla, nemohlo to zůstat bez nápravy. Vznikla reálná čísla. Ty zpravidla znázorňujeme číselnou osou. Reálná čísla mají značku <math>\mathbb{R}</math>. Můžeme si také definovat iracionální čísla, to jsou reálná čísla, která nejsou racionální: <math>\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}</math>
Nebudu Vás dlouho napínat, to víte že reálná čísla nestačila. Reálná čísla vznikla také kvůli odmocnině ze dvou. Ale na co je odmocnina krátká, to jsou záporná čísla. <math>\sqrt{-1}</math> je v reálných číslech neřešitelná. Nyní nastávají dvě možnosti. Buď sedneme do kouta a budeme plakat a nebo si poradíme. Někteří matematikové (ti co nesedli do kouta) se zamysleli a vymysleli komplexní čísla. Vymysleli si, že čísla nemají jen reálnou, ale i imaginární část. Komplexní číslo má tedy dvě složky, jsou to tedy vlastně dvourozměrné vektory. Gauss poté ukázal že se dají komplexní čísla zobrazovat do tzv. Gaussovy roviny. Další možností je zápis s imaginární jednotkou. Takové číslo pak může vypadat třeba <math>3+5i</math>. Množina komplexních čísel se pak dá definovat jako <math>\mathbb{C} = \{a+bi | a,b \in \mathbb{R}\}</math>.
Existují i další číselné obory, například kvaterniony (<math>\mathbb{H}</math>), které mají komplexní jednotky dokonce tři. Ty se používají s výhodou ve 3D modelování.
Jistě jste si všimli, že při postupném budování číselných oborů jsme postupně rozšiřovali ty stávající aby obsáhly vlastnost, která nám chyběla. Není se proto čemu divit, když zjistíme, že každé přirozené číslo také patří do množiny celých čísel a tak dále. Platí: <math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}</math>.
Přirozená čísla tvoří právě kladná celá čísla. Celá čísla jsou v množině racionálních čísel taková, která mají jako jmenovatel jedničku <math>\left(\frac{1}{1},\frac{-5}{1},\frac{1000}{1},...\right)</math>. Reálná čísla jsme dostali pouze doplněním iracionálních čísel. A v komplexních číslech jsou reálná čísla ta, která mají nulovou imaginární část, tzn. <math>0 + 0i, \pi + 0i, 8 + 0i,...</math>.
